Aproximación lineal
Línea tangente en (a, f(a))
En matemáticas, una aproximación lineal es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + o ( x ) {\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+o(x)}
donde o ( x ) {\displaystyle o(x)} es una función que representa el error usando la notación de Landau (Así, o ( x ) / x {\displaystyle o(x)/x} tiende a 0 cuando x {\displaystyle x} tiende a a {\displaystyle a} ). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.
f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}
es una función que representa el error usando la 
tiende a 0 cuando
x
{\displaystyle x}
tiende a
a
{\displaystyle a}
). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.
Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente
Ejemplo
1.Para encontrar la aproximación lineal de 25 3 {\displaystyle {\sqrt{25}}} se hace lo siguiente:
se hace lo siguiente:
- Considérese la función f ( x ) = x 1 / 3 . {\displaystyle f(x)=x^{1/3}.\,}
- Se tiene la derivada: f ′ ( x ) = 1 / 3 ∗ x − 2 / 3 . {\displaystyle f\ '(x)=1/3*x^{-2/3}.}
- Según lo ya visto, f ( 25 ) ≈ f ( 27 ) + f ′ ( 27 ) ( 25 − 27 ) = 3 − 2 / 27. {\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}
- El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…
