En matemáticas, la condición de frontera de Dirichlet (o de primer tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, denominado así en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), cuando en una ecuación diferencial ordinaria o una en derivadas parciales, se le especifican los valores de la solución que necesita la frontera del dominio. La cuestión de hallar las soluciones a esas ecuaciones con esta condición se le conoce como problema de Dirichlet.
En caso de una ecuación diferencial ordinaria tal como:
d 2 y d x 2 + 3 y = 1 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}sobre el intervalo , las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:
{ y ( 0 ) = α 1 y ( 1 ) = α 2 {\displaystyle {\begin{cases}y(0)=\alpha _{1}\,\\y(1)=\alpha _{2}\,\end{cases}}}donde α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} y α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} son números dados.
Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio Ω⊂ℝⁿ tal como:
∇ 2 y + y = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0\,}donde ∇² es el laplaciano, las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:
y ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω {\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }donde f es una función conocida definida sobre ∂Ω.
Los siguientes ejemplos pueden considerarse como condiciones de frontera de Dirichlet:
Las condiciones de frontera de Dirichlet son quizás las más fáciles de entender sin embargo hay otros tipos de condiciones posibles. Por ejemplo, están las condiciones de frontera de Cauchy o las mixtas que son una combinación de las condiciones de Dirichlet y las de Neumann.