Congruencia (teoría de números)

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Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a y b {\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b} $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m ≠ 0 {\displaystyle m\,\neq \,0} $m\,\neq \,0$ , llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:

a ≡ b ( mod m ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}

a\equiv b{\pmod {m}}

que se expresa diciendo que: a {\displaystyle a\,} $a\,$ es congruente con b {\displaystyle b\,} $b\,$ módulo m {\displaystyle m\,} $m\,$ . De donde se define que dos números a y b {\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b} $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ son congruentes en módulo m ≠ 0 {\displaystyle m\,\neq \,0} $m\,\neq \,0$ «» (sí y solo si) :

m {\displaystyle m\,} $m\,$ divide exactamente a la diferencia de a {\displaystyle a\,} $a\,$ y b {\displaystyle b\,} $b\,$

m ∣ a − b {\displaystyle m\mid a-b}

m\mid a-b

o lo que es lo mismo, a y b {\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b} $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ dejan el mismo resto en la división por m {\displaystyle m\,} $m\,$ . Además, también se puede afirmar que:

a {\displaystyle a\,} $a\,$ se puede escribir como la suma de b {\displaystyle b\,} $b\,$ y un múltiplo de m {\displaystyle m\,} $m\,$ , pues si: m ∣ a − b {\displaystyle m\mid a-b} $m\mid a-b$ » (entonces), m k = a − b {\displaystyle mk=a-b} $mk=a-b$ , para algún k ∈ Z ( e n t o n c e s ) a = b + k m {\displaystyle k\in \mathbb {Z} \quad (entonces)\ a=b+km} $k\in \mathbb {Z} \quad (entonces)\ a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo p {\displaystyle p\,} $p\,$ y cada entero a {\displaystyle a\,} $a\,$ no divisible por p {\displaystyle p\,} $p\,$ tenemos la congruencia:

a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) . {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia x 2 − 5 ≡ 0 ( mod 11 ) {\displaystyle x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}} $x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}$ , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por x ≡ 4 ( mod 11 ) {\displaystyle x\equiv 4{\pmod {11}}} $x\equiv 4{\pmod {11}}$ y x ≡ 7 ( mod 11 ) {\displaystyle x\equiv 7{\pmod {11}}} $x\equiv 7{\pmod {11}}$ , es decir x {\displaystyle x\,} $x\,$ puede ser cualquier entero de las sucesiones 11 k + 4 {\displaystyle 11k+4\,} $11k+4\,$ y 11 k + 7 {\displaystyle 11k+7\,} $11k+7\,$ . Contrariamente la congruencia x 2 − 2 ≡ 0 ( mod 11 ) {\displaystyle x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}} $x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}$ , no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

La congruencia para un módulo a ≡ b ( mod m ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} $a\equiv b{\pmod {m}}$ entonces también b ≡ a ( mod m ) {\displaystyle b\equiv a{\pmod {m}}} $b\equiv a{\pmod {m}}$

transitividad: si a ≡ b ( mod m ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} $a\equiv b{\pmod {m}}$ y b ≡ c ( mod m ) {\displaystyle b\equiv c{\pmod {m}}} $b\equiv c{\pmod {m}}$ entonces también a ≡ c ( mod m ) {\displaystyle a\equiv c{\pmod {m}}} $a\equiv c{\pmod {m}}$ .

Si a {\displaystyle a\,} $a\,$ es coprimo con m {\displaystyle m\,} $m\,$ y a ≡ b ( mod m ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} $a\equiv b{\pmod {m}}$ , entonces b {\displaystyle b\,} $b\,$ también es coprimo con m {\displaystyle m\,} $m\,$ .

Si a ≡ b ( mod m ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} y k {\displaystyle k\,} es un entero entonces también se cumple
- a ± k ≡ b ± k ( mod m ) {\displaystyle a\pm k\equiv b\pm k{\pmod {m}}} $a\pm k\equiv b\pm k{\pmod {m}}$
- k a ≡ k b ( mod m ) {\displaystyle ka\equiv kb{\pmod {m}}} $ka\equiv kb{\pmod {m}}$
- a k ≡ b k ( mod m ) k > 0 {\displaystyle a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0} $a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0$

Si además k {\displaystyle k\,} $k\,$ es coprimo con m {\displaystyle m\,} $m\,$ , entonces podemos encontrar un entero h − 1 {\displaystyle h^{-1}\,} $h^{-1}\,$ , tal que

k h − 1 ≡ 1 ( mod m ) {\displaystyle kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}

kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

a k ≡ b k ( mod m ) {\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}}

{\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}

donde por definición ponemos a / k = a k − 1 {\displaystyle a/k=ak^{-1}\,} $a/k=ak^{-1}\,$ .

Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

a ≡ b ( mod m ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}

a\equiv b{\pmod {m}}

y c ≡ d ( mod m ) {\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}

c\equiv d{\pmod {m}}

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

a + c ≡ b + d ( mod m ) {\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}

a+c\equiv b+d{\pmod {m}}

y a c ≡ b d ( mod m ) {\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}

ac\equiv bd{\pmod {m}}

Véase también

Aritmética modular

Referencias

↑ «Aritmética modular». Archivado desde el original el 21 de enero de 2022. Consultado el 22 de enero de 2020.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Congruence». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Congruencias. Lecciones de Álgebra. Jaime Gutierrez Gutierrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas Archivado el 21 de junio de 2012 en Wayback Machine.
David M.Burton: "Elementary Number Theory"
Enrique Arrondo: "Apuntes de Teoría Elemental de Números". En http://www.mat.ucm.es/~arrondo/ten.pdf
Eduardo Miguel Pérez Almarales: "Congruencia Aritmética para Olimpiada de Matemática". Más sobre él en https://scholar.google.com.cu/citations?user=2U2wbD0AAAAJ&hl=es
María Luisa Pérez Seguí: "Teoría de Numeros: Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas". En https://www.freelibros.me/matematicas/teoria-de-numeros-maria-luisa-perez-segui