Cuerpo de descomposición

Apariencia mover a la barra lateral ocultar

En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

Cuerpo de descomposición de un polinomio

Dado un cuerpo K {\displaystyle K} $K$ , y un polinomio no constante p ( X ) ∈ K {\displaystyle p(X)\in K} $p(X)\in K$ (con coeficientes en K {\displaystyle K} $K$ ) de grado n > 0 {\displaystyle n>0} $n>0$ , se define el cuerpo de descomposición de p {\displaystyle p} $p$ como un cuerpo E p {\displaystyle E_{p}} $E_{p}$ que cumple:

Que el polinomio p ( X ) {\displaystyle p(X)} $p(X)$ descompone completamente en E p {\displaystyle E_{p}} $E_{p}$ , es decir, que se puede expresar p ( X ) {\displaystyle p(X)} $p(X)$ como

p ( X ) = α ∏ i = 1 n ( X − α i ) {\displaystyle p(X)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})}

p(X)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})

, con α ∈ K , α i ∈ E p . {\displaystyle \alpha \in K,\alpha _{i}\in E_{p}.}

\alpha \in K,\alpha _{i}\in E_{p}.

Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.

Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a K {\displaystyle K} $K$ todas las raíces del polinomio p ( X ) {\displaystyle p(X)} $p(X)$ :

E p = K ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle E_{p}=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}

E_{p}=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})

Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios T ⊆ K {\displaystyle T\subseteq K} $T\subseteq K$ es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios p ( X ) ∈ T ⊆ K {\displaystyle p(X)\in T\subseteq K} $p(X)\in T\subseteq K$ .

Cuerpo de descomposición de un cuerpo

Dado un cuerpo K {\displaystyle K} $K$ , el cuerpo de descomposición de K {\displaystyle K} $K$ es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios K ; {\displaystyle K;} $K;$ es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en K . {\displaystyle K.} $K.$

En este caso se le llama clausura algebraica de K {\displaystyle K} $K$ y se le denota por K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} ${\bar {K}}$ .

Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a K {\displaystyle K} $K$ , también contiene a K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} ${\bar {K}}$ :

∀ Ω algebr. cerrado, K ⊆ Ω ⇒ K ⊆ K ¯ ⊆ Ω {\displaystyle \forall \,\Omega {\mbox{ algebr. cerrado, }}K\subseteq \Omega \Rightarrow K\subseteq {\bar {K}}\subseteq \Omega }

\forall \,\Omega {\mbox{ algebr. cerrado, }}K\subseteq \Omega \Rightarrow K\subseteq {\bar {K}}\subseteq \Omega

Véase también

Cuerpo de ruptura

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Splitting field». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Splitting Field en PlanetMath.