Elemento simétrico

Apariencia mover a la barra lateral ocultar

En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto A {\displaystyle A\,} $A\,$ en el que se ha definido una operación matemática ⊚ {\displaystyle \circledcirc } $\circledcirc$ , que anotamos: ( A , ⊚ ) {\displaystyle (A,\circledcirc )\,} $(A,\circledcirc )\,$ , siendo la operación ⊚ {\displaystyle \circledcirc } $\circledcirc$ , interna en A {\displaystyle A\,} $A\,$ :

⊚ : A × A ⟶ A ( a , b ) ⟼ c = a ⊚ b {\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}

{\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}

Con elemento neutro e : {\displaystyle e\,:} $e\,:$

∃ e ∈ A , ∀ a ∈ A : a ⊚ e = e ⊚ a = a {\displaystyle \exists \,e\in A\;,\quad \forall a\in A\;:\quad a\circledcirc e=e\circledcirc a=a}

\exists \,e\in A\;,\quad \forall a\in A\;:\quad a\circledcirc e=e\circledcirc a=a

Se dice que un elemento a ∈ A {\displaystyle a\in A} $a\in A$ tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación ⊚ {\displaystyle \circledcirc } $\circledcirc$ si:

a ∈ A , ∃ a → ∈ A : a → ⊚ a = e {\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;:\quad {\overrightarrow {a}}\circledcirc a=e}

a\in A\;,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;:\quad {\overrightarrow {a}}\circledcirc a=e

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación ⊚ {\displaystyle \circledcirc } $\circledcirc$ si:

a ∈ A , ∃ a ← ∈ A : a ⊚ a ← = e {\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;:\quad a\circledcirc {\overleftarrow {a}}=e}

a\in A\;,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;:\quad a\circledcirc {\overleftarrow {a}}=e

elemento simétrico respecto de la operación ⊚ {\displaystyle \circledcirc } $\circledcirc$ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

a ∈ A , ∃ a ¯ ∈ A : a ¯ ⊚ a = a ⊚ a ¯ = e {\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\bar {a}}\in A\;:\quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e}

a\in A\;,\quad \exists {\bar {a}}\in A\;:\quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e

Un elemento simétrico a ¯ {\displaystyle {\bar {a}}} ${\bar {a}}$ de A {\displaystyle A\,} $A\,$ es simétrico por la derecha del elemento a {\displaystyle a\,} $a\,$ y simétrico por la izquierda del elemento a {\displaystyle a\,} $a\,$ .

Notación

Notación aditiva

Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.

Ejemplo

La suma en el conjunto de los números enteros: Z {\displaystyle \mathbb {Z} } $\mathbb {Z}$ ,

⊕ : Z × Z ⟶ Z ( a , b ) ⟼ c = a ⊕ b {\displaystyle {\begin{array}{rccl}\oplus :&\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\oplus b\end{array}}}

{\begin{array}{rccl}\oplus :&\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\oplus b\end{array}}

es interna:

∀ a , b ∈ Z : a ⊕ b ∈ Z {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus b\in \mathbb {Z} }

\forall a,b\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus b\in \mathbb {Z}

En este caso al elemento neutro se denomina cero y se denota por "0",

∀ a ∈ Z , ∃ 0 ∈ Z : a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists 0\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus 0=0\oplus a=a}

\forall a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists 0\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus 0=0\oplus a=a

El elemento simétrico de a {\displaystyle a\,} $a\,$ se denomina elemento opuesto de a {\displaystyle a\,} $a\,$ y se denota por: − a {\displaystyle -a\,} $-a\,$ .

Para dicho conjunto de números entero la operación suma: ⊕ {\displaystyle \oplus } $\oplus$ , tenemos que:

a ∈ Z , ∃ ( − a ) ∈ Z : ( − a ) ⊕ a = a ⊕ ( − a ) = 0 {\displaystyle a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists (-a)\in \mathbb {Z} \;:\quad (-a)\oplus a=a\oplus (-a)=0}

a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists (-a)\in \mathbb {Z} \;:\quad (-a)\oplus a=a\oplus (-a)=0

Notación multiplicativa

Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación.

Ejemplo

La multiplicación en el conjunto de los números racionales: Q {\displaystyle \mathbb {Q} } $\mathbb {Q}$ ,

⊙ : Q × Q ⟶ Q ( a , b ) ⟼ c = a ⊙ b {\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot :&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}}

{\begin{array}{rccl}\odot :&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}

es interna:

∀ a , b ∈ Q : a ⊙ b ∈ Q {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot b\in \mathbb {Q} }

\forall a,b\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot b\in \mathbb {Q}

En este caso al elemento neutro se denomina uno o unidad y se denota por "1":

∀ a ∈ Q , ∃ 1 ∈ Q : a ⊙ 1 = 1 ⊙ a = a {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad \exists 1\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot 1=1\odot a=a}

\forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad \exists 1\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot 1=1\odot a=a

El elemento simétrico de a {\displaystyle a\,} $a\,$ se denomina elemento inverso de a {\displaystyle a\,} $a\,$ y se denota por a − 1 {\displaystyle a^{-1}\,} $a^{-1}\,$ o por 1 a . {\displaystyle {\frac {1}{a}}.} ${\frac {1}{a}}.$

Para dicho conjunto de números racionales la operación multiplicación cumple:

∀ a ∈ Q , a ≠ 0 , ∃ 1 a ∈ Q : 1 a ⊙ a = a ⊙ 1 a = 1 {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad a\neq 0\;,\quad \exists {\frac {1}{a}}\in \mathbb {Q} \;:\quad {\frac {1}{a}}\odot a=a\odot {\frac {1}{a}}=1}

\forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad a\neq 0\;,\quad \exists {\frac {1}{a}}\in \mathbb {Q} \;:\quad {\frac {1}{a}}\odot a=a\odot {\frac {1}{a}}=1

Véase también

Elemento neutro
Elemento simétrico
- Elemento opuesto
- Elemento inverso