En matemáticas, la energía de Dirichlet es una medida numérica de cómo de variable es una función. Más abstractamente, es un funcional cuadrático sobre el espacio de Sóbolev H 1 {\displaystyle \mathbf {H} ^{1}} . La energía de Dirichlet está íntimamente conectada con la ecuación de Laplace y su nombre se debe al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Dado un conjunto abierto Ω ⊆ R n {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} y una función u : Ω → R n {\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}} la energía de Dirichlet de la función u {\displaystyle u} es el número real
E = 1 2 ∫ Ω | ∇ u ( x ) | 2 d x , {\displaystyle E={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x,}donde ∇ u : Ω → R n {\displaystyle \nabla u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}} gradiente del campo vectorial de la función u {\displaystyle u} .
denota elPuesto que es la integral de una cantidad no negativa, la energía de Dirichlet no es una cantidad negativa, i.e. E ≥ 0 {\displaystyle E\geq 0} para cualquier función u {\displaystyle u} .
Resolver la ecuación de Laplace
− Δ u ( x ) = 0 para todo x ∈ Ω {\displaystyle -\Delta u(x)=0{\text{ para todo }}x\in \Omega }(sujeta a las apropiadas condiciones de frontera) es equivalente a resolver el problema de variaciones de encontrar una función u {\displaystyle u} que satisfaga las condiciones de contorno y tenga la mínima energía de Dirichlet.
Tal solución es llamada función armónica y esas soluciones son el tema de estudio de la teoría del potencial.