En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Formalmente, dada una función f {\displaystyle f} :
f : X ⟶ Y x ⟼ y = f ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:
∀ y ∈ Y : ∃ ! x ∈ X / f ( x ) = y {\displaystyle \forall y\in Y\;:\quad \exists !\ x\in X\;/\quad f(x)=y}Es decir, para todo y {\displaystyle y} de Y {\displaystyle Y} se cumple que existe un único x {\displaystyle x} de X {\displaystyle X} , tal que la función evaluada en x {\displaystyle x} es igual a y {\displaystyle y} .
Dados dos conjuntos finitos X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} , entonces existirá una biyección entre ambos si y solo si X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} tienen el mismo número de elementos.
Si f {\displaystyle f\,} es una función real biyectiva, entonces su función inversa f − 1 {\displaystyle f^{-1}\,} existe y también es biyectiva.
La función:
f ( x ) = α x + β , {\displaystyle f(x)=\alpha x+\beta \,,} con α , β ∈ R {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } y α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0}es biyectiva.
Luego, su inversa:
f − 1 ( x ) = x − β α {\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x-\beta }{\alpha }}\,}también lo es.
El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver que la función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva:
Función | Inyectiva | No inyectiva |
Sobreyectiva | ||
No sobreyectiva |
Asientos y alumnos en una sala de clase
En una clase hay un determinado número de asientos. Un grupo de estudiantes ingresa a la clase y el profesor les pide a todos que se sienten. Después de hacer una rápida observación de la sala de clase, el profesor declara con seguridad que hay una biyectividad entre el grupo de estudiantes y la cantidad de asientos, donde cada estudiante está emparejado con el asiento que le corresponde. Lo que el profesor tuvo que observar para poder hacer esta declaración es:
El profesor, gracias a esa observación, pudo concluir que había igual cantidad de asientos como de estudiantes, sin tener que contar la cantidad de asientos.
Dados dos conjuntos A {\displaystyle \scriptstyle A} y B {\displaystyle \scriptstyle B} , entre los cuales existe una función biyectiva f : A → B {\displaystyle \scriptstyle f:A\to B} tienen cardinales que cumplen
card ( A ) = card ( B ) {\displaystyle {\mbox{card}}(A)={\mbox{card}}(B)\,}
Se define un homeomorfismo (no confundir con homomorfismo ) como una aplicación entre dos espacios topológicos verificando ser una transformación biyectiva y bicontinua.