En matemáticas, el teorema de la base de Hilbert o teorema fundamental de Hilbert toma su nombre de David Hilbert, que fue el primero en probarlo en 1888.
Afirma que un anillo de polinomios sobre un anillo noetheriano también es noetheriano
Sea A {\displaystyle A} un anillo conmutativo dotado con la unidad (la unidad puede ser 0, entonces A = 0 {\displaystyle A={0}} ). Se dice que A {\displaystyle A} es noetheriano si todo ideal de A {\displaystyle A} está finitamente generado. Es fácil probar que cuando se cumplen las tres siguientes condiciones los dos enunciados equivalen entre sí:
Si
I 0 ⊆ I 1 ⊆ ⋯ ⊆ I n ⊆ ⋯ {\displaystyle I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots \subseteq I_{n}\subseteq \cdots }es una cadena de ideales, entonces existe N {\displaystyle N} tal que
I N = I N + 1 = I N + 2 = ⋯ {\displaystyle I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots } .Teorema. Si A {\displaystyle A} es noetheriano, entonces A {\displaystyle A} es noetheriano.
Corolario. Si A {\displaystyle A} es noetheriano, entonces A {\displaystyle A} es noetheriano.
El corolario se obtiene aplicando el teorema de Hilbert con inducción sobre n {\displaystyle n} .