Seminorma

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Una seminorma es una generalización del concepto de norma vectorial que se define a partir de un producto escalar el cual no es definido positivo o se dice que es semiescalar.

Definición

Sea V un espacio vectorial real. Llamamos producto semiescalar sobre V × V {\displaystyle V\times V} $V\times V$ al mapeo { x , y } ∈ V × V → ( ( x , y ) ) ∈ R {\displaystyle \{x,y\}\in V\times V\to ((x,y))\in R} $\{x,y\}\in V\times V\to ((x,y))\in R$ tal que satisface las siguientes condiciones

i. ( ( ∑ i = 1 n λ i x i , y ) ) = ∑ i = 1 n λ i ( ( x i , y ) ) {\displaystyle ((\sum _{i=1}^{n}\lambda ^{i}x_{i},y))=\sum _{i=1}^{n}\lambda ^{i}((x_{i},y))} $((\sum _{i=1}^{n}\lambda ^{i}x_{i},y))=\sum _{i=1}^{n}\lambda ^{i}((x_{i},y))$ , linealidad respecto a x {\displaystyle x} $x$

ii. ( ( x , ∑ j = 1 m μ j y j ) ) = ∑ j = 1 m μ j ( ( x , y j ) ) {\displaystyle ((x,\sum _{j=1}^{m}\mu ^{j}y_{j}))=\sum _{j=1}^{m}\mu ^{j}((x,y_{j}))} $((x,\sum _{j=1}^{m}\mu ^{j}y_{j}))=\sum _{j=1}^{m}\mu ^{j}((x,y_{j}))$ , linealidad respecto a y {\displaystyle y} $y$

iii. ( ( x , y ) ) = ( ( y , x ) ) {\displaystyle ((x,y))=((y,x))} $((x,y))=((y,x))$ , simetría

iv. ( ( x , x ) ) >= 0 {\displaystyle ((x,x))>=0} $((x,x))>=0$ para toda x ∈ V {\displaystyle x\in V} $x\in V$ , positividad.

Si ( ( x , y ) ) {\displaystyle ((x,y))} $((x,y))$ es un producto semiescalar entonces | | x | | = ( ( x , x ) ) {\displaystyle ||x||={\sqrt {((x,x))}}} $||x||={\sqrt {((x,x))}}$ es una seminorma. Y será una norma si ( ( x , y ) ) {\displaystyle ((x,y))} $((x,y))$ es un producto escalar con la condición (iv) ( ( x , x ) ) > 0 {\displaystyle ((x,x))>0} $((x,x))>0$ , es decir definida positiva.

Referencias

Applied Functional Analysis. Second Edition Jean-Pierre Aubin. Wiley Inter-Science.