La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.
Considerando la figura podemos escribir:
(1) x = ( r 1 + r 2 ) s e n α − r 2 c o s γ {\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma }
(2) y = ( r 1 + r 2 ) c o s α + r 2 s e n γ {\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma }
con γ = α + β − π / 2 {\displaystyle \gamma =\alpha +\beta -\pi /2} y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: r 1 α = l 1 = l 2 = r 2 β {\displaystyle r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta } . De aquí se tiene que β = r 1 r 2 α {\displaystyle \beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha }
Sustituyendo β y γ en las ecuaciones y tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: x = ( r 1 + r 2 ) s e n α − r 2 s e n {\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ }
y = ( r 1 + r 2 ) c o s α − r 2 c o s {\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ }
Cuando r 1 r 2 {\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}} es un número racional, i.e., k = r 1 r 2 = p q {\displaystyle k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}} , siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.
Cuando r1=r2, i.e, k = 1 {\displaystyle k=1} obtenemos una cardioide.
Cuando r1=2r2, i.e, k = 2 {\displaystyle k=2} obtenemos una nefroide.
La directriz es una recta | ||||
d = r | d < r | d > r | ||
cicloide | trocoide | |||
cicloide normal | cicloide acortada | cicloide alargada |
La directriz es una circunferencia | ||||
d = r | d < r | d > r | ||
La generatriz es exterior a al directriz | epicicloide | epitrocoide | ||
epicicloide normal | epicicloide acortada | epicicloide alargada | ||
La generatriz es interior a al directriz | hipocicloide | hipotrocoide | ||
hipocicloide normal | hipocicloide acortada | hipocicloide alargada | ||
La directriz es interior a al generatriz | pericicloide | peritrocoide | ||
pericicloide normal | pericicloide acortada | pericicloide alargada |