La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan a otro punto llamado centro. |
Distíngase de círculo, cuyo lugar geométrico queda determinado por una circunferencia, y la región del plano que encierra esta.
El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia. Cuando usaban los carros con ruedas, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia ayudando a mejorar la precisión a la hora de fabricación de las ruedas y a su vez facilitar el transporte .
Elementos relevantes de la circunferencia, heredados por el círculo:
La longitud de una circunferencia en función del radio r {\displaystyle r}
ℓ = 2 π ⋅ r = {\displaystyle \ell =2\pi \cdot r=} o del diámetro d = 2 ⋅ r {\displaystyle d=2\cdot r} es: π ⋅ d {\displaystyle \pi \cdot d}donde π = 3 , 14159 … {\displaystyle \pi =3,14159\dots } constante pi.
es laEl área del círculo o de la región del plano delimitada por una circunferencia:
A = ℓ ⋅ r 2 = {\displaystyle {\frac {\ell \cdot r}{2}}=} π ⋅ r 2 = {\displaystyle \pi \cdot r^{2}=} π ⋅ d 2 4 {\displaystyle {\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}} PropiedadesSolo las rectas que contengan el centro de la circunferencia pueden ser un eje de simetría de esta. |
Los puntos de la circunferencia sobre cualquier perpendicular a las recta que pasa por el centro son equidistantes a esta. Al construir un triángulo isósceles con dos radios y la perpendicular queda probado que son equidistantes a la recta que ahora se le puede llamar recta de simetría. |
Las circunferencias son invariantes a cualquier rotación con el eje en el centro de esta circunferencia. |
Trivial después de entender que los radios sufren una rotación, por tanto, no modifican su longitud ni su origen común, ya que se trata de un desplazamiento del plano y por tanto una isometría. |
Posiciones de los puntos respecto de la circunferencia:
Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:
Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con los diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo punto de la circunferencia se pueden hacer tangencias.
PropiedadesToda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que contiene el punto de tangencia. |
Por reducción al absurdo, se puede suponer que no es perpendicular, por tanto, se puede construir un triángulo isósceles con otro radio, probando así que hay otro punto de tangencia diferente al primero y como este debería ser único implica la negación de que no sean perpendiculares y por tanto es un ángulo recto. |
Posiciones entre circunferencias:
Los centros de las circunferencias tangentes están alineados con el punto de tangencia. |
Como la recta tangente en el punto es perpendicular al radio, implica que todos los radios son perpendiculares a dicha recta tangente en el mismo punto, es decir, todos los centros están alineados. |
Posición de los ángulos respecto de una circunferencia, puede ser:
En el ángulo central su amplitud α {\displaystyle \alpha }
y el radio r {\displaystyle r} de la circunferencia, determina la longitud del arco ℓ , {\displaystyle \ell ,} resaltado en la figura en azul. Si el ángulo está en grados:ℓ α = {\displaystyle \ell _{\alpha }=} | α 180 ∘ ⋅ π ⋅ r {\displaystyle {\frac {\alpha }{180^{\circ }}}\cdot \pi \cdot r}
El ángulo central indica qué fracción de circunferencia que tiene el arco, así, si
ℓ
=
2
π
⋅
r
=
{\displaystyle \ell =2\pi \cdot r=}
Es decir, el arco es directamente proporcional al ángulo central, y que simplificando queda la fórmula buscada. | entonces:
ℓ
α
=
α
360
∘
⋅
2
π
⋅
r
{\displaystyle \ell _{\alpha }={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}\cdot 2\pi \cdot r}
Si el ángulo está en radianes:
ℓ α = {\displaystyle \ell _{\alpha }=} α ⋅ r {\displaystyle \alpha \cdot r}El arco capaz relaciona el ángulo central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito siempre que las intersecciones de los lados mantengan la misma distancia.
Si el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito tienen la misma amplitud α {\displaystyle \alpha }
, entonces, determinan la misma longitud de arco, de color azul en la imagen, sobre una misma circunferencia de radio r {\displaystyle r} . Si el ángulo está en grados:ℓ α = {\displaystyle \ell _{\alpha }=} | α 90 ∘ ⋅ π ⋅ r {\displaystyle {\frac {\alpha }{90^{\circ }}}\cdot \pi \cdot r}
Como el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito, este hecho se sustituye en la fórmula usada en el ángulo central quedando:
ℓ
α
=
2
⋅
α
360
∘
⋅
2
π
⋅
r
{\displaystyle \ell _{\alpha }={\frac {2\cdot \alpha }{360^{\circ }}}\cdot 2\pi \cdot r}
Simplificando queda la fórmula buscada. |
Si el ángulo está en radianes:
ℓ α = {\displaystyle \ell _{\alpha }=} α ⋅ 2 ⋅ r {\displaystyle \alpha \cdot 2\cdot r}Diversos tipos de ángulos aparecen en el análisis de la potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Diremos que una circunferencia está circunscrita a un polígono cuando todos los vértices de dicho polígono están sobre esta, se dice que este polígono está inscrito.
Diremos que una circunferencia está inscrita a un polígono cuando sea tangente a todos los lados de dicho polígono, se dice que este polígono está circunscrito.
Hay muchas construcciones con regla y compás que resultan en circunferencias.
Esta es la más sencilla. Basta colocar la aguja del compás en el centro de la circunferencia y el otro extremo en el otro punto y girar.
La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos. Para ello solo hace falta garantizar que la distancia de cada punto P {\displaystyle P}
de la circunferencia a su centro C {\displaystyle C} sea constante para cada una de las ecuaciones y funciones que se tenga.Una circunferencia queda determinada por un centro C = ( a , b ) {\displaystyle C=(a,\,b)}
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 . {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.} y un radio r {\displaystyle r} , por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la distancia de sus puntos, P = ( x , y ) {\displaystyle P=(x,\,y)} , al centro sea constante, es decir, ‖ P − C ‖ = r {\displaystyle \|P-C\|=r} dando la siguiente ecuación:Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada punto de la forma ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} que satisfacen la ecuación.
La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen de coordenadas C = ( 0 , 0 ) : {\displaystyle C=(0,\,0):}
x 2 + y 2 = r 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y su ecuación es:
x 2 + y 2 = 1. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}Su función implícita es f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1 {\displaystyle f(x,\,y)=x^{2}+y^{2}-1}
Propiedades y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplen la ecuación f ( x , y ) = 0. {\displaystyle f(x,\,y)=0.}x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0} |
Aplicando cuadratura a
x
2
+
D
x
{\displaystyle x^{2}+Dx}
y por tanto ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = a 2 + b 2 − F {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-F} r = a 2 + b 2 − F . {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}-F}}.} de donde: | y
y
2
+
E
y
{\displaystyle y^{2}+Ey}
se deduce que:
a
=
−
D
2
{\displaystyle a=-{\frac {D}{2}}}
b
=
−
E
2
{\displaystyle b=-{\frac {E}{2}}}
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) = 0. {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0.} |
Solo hace falta extender el producto de la ecuación dada para identificar la circunferencia:
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) = {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=} x 2 − x ⋅ x 1 − x ⋅ x 2 + x 1 ⋅ x 2 + y 2 − y ⋅ y 1 − y ⋅ y 2 + y 1 ⋅ y 2 {\displaystyle x^{2}-x\cdot x_{1}-x\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}+y^{2}-y\cdot y_{1}-y\cdot y_{2}+y_{1}\cdot y_{2}}Finalmente se debe observar que los dos puntos anulan la ecuación y probar que el punto medio es el centro. |
La circunferencia con centro en C = ( a , b ) {\displaystyle C=(a,\,b)} parametrizar usando funciones trigonométricas de un solo parámetro θ {\displaystyle \theta } para obtener una función paramétrica r C ( θ ) = ( x , y ) : {\displaystyle r_{C}(\theta )=(x,\,y):}
x = a + r cos θ y = b + r sen θ {\displaystyle {\begin{array}{l}x=a+r\,\cos \theta \\y=b+r\,\operatorname {sen} \theta \end{array}}} y radio r {\displaystyle r} se puede θ ∈ En el plano complejo, una circunferencia con centro C = a + i b {\displaystyle C=a+i\,b} y radio r {\displaystyle r} a partir de la ecuación de la circunferencia | z − c | = r {\displaystyle |z-c|=r} se obtiene la forma paramétrica:
z = r e i θ + C = {\displaystyle z=re^{i\theta }+C=} r ( cos θ + i sen θ ) + a + i b {\displaystyle r(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )+a+i\,b}donde θ ∈ = 0. {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\\\end{bmatrix}}=0.}
Según el área que se trabaje, hay formas de identificar y usar una circunferencia implícitamente, además de sus funciones y ecuaciones.
En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar como uno los dos extremos de un intervalo cerrado. Sin embargo, los geómetras llaman 2-esfera a la circunferencia, mientras que los topólogos se refieren a ella como 1-esfera y la indican como S 1 {\displaystyle S^{1}\,\!} , dando lugar a posibles confusiones.
La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco — esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado — y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1. También el caso de una poligonal cerrada.
En el tema de ecuaciones diferenciales, una circunferencia puede determinarse mediante una curva integral de una ecuación diferencial como:
x ′ = − y y ′ = x {\displaystyle {\begin{array}{l}x'=-y\\y'=\,x\end{array}}}En teoría local de la curva, se considera como circunferencia una curva de curvatura constante sin torsión.
Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano
Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola, siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la llamada «circunferencia directriz».
Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada «circunferencia osculatriz».