La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x {\displaystyle x} y para cualquier n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } se verifica que
( cos ( x ) + i sen ( x ) ) n = cos ( n x ) + i sen ( n x ) {\displaystyle (\cos(x)+i\operatorname {sen}(x))^{n}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)} .Esta fórmula conecta los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría.
La expresión cos x + i sen x {\displaystyle \cos x+i\operatorname {sen} x}
en ocasiones se abrevia como cis x {\displaystyle \operatorname {cis} x} .Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible obtener expresiones muy útiles para cos ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} raíz de la unidad, eso es, números complejos z {\displaystyle z} tal que z n = 1 {\displaystyle z^{n}=1} .
y sen ( n x ) {\displaystyle \operatorname {sen}(nx)} en términos de cos x {\displaystyle \cos x} y sen x {\displaystyle \operatorname {sen} x} . Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la n {\displaystyle n} -ésimaLa forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum de Euler, que la demuestra para todos los enteros naturales n {\displaystyle n} en 1748. Pero también aparece implícitamente en los trabajos de Abraham de Moivre varias veces desde 1707, en su trabajo sobre las raíces n {\displaystyle n} -ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx) + i sin(nx).
La fórmula de Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:
e i x = cos x + i sen x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}aplicando leyes de la exponenciación
( e i x ) n = e i n x {\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}}Entonces, por la fórmula de Euler,
e i ( n x ) = cos ( n x ) + i sen ( n x ) {\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)} .Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:
e i x = cos x + i sen x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x}si hacemos x = π {\displaystyle x=\pi } identidad de Euler:
e i π = cos π + i sin π = − 1 + 0 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+0\\&=-1\end{aligned}}} entonces tenemos laEs decir:
e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}Además como tenemos estas dos igualdades:
e i x = cos x + i sen x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x} e − i x = cos x − i sen x {\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\operatorname {sen} x}podemos deducir lo siguiente:
cos x = e i x + e − i x 2 sen x = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\operatorname {sen} x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\end{aligned}}}Consideramos tres casos.
Para un entero n > 0 {\displaystyle n>0} inducción matemática. Cuando n = 1 {\displaystyle n=1} el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k {\displaystyle k} . Eso es que asumimos:
( cos x + i sen x ) k = cos ( k x ) + i sen ( k x ) {\displaystyle \left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}=\cos(kx)+i\operatorname {sen}(kx)} , procedemos porAhora, considerando el caso n = k + 1 {\displaystyle n=k+1}
( cos x + i sen x ) k + 1 = ( cos x + i sen x ) k ( cos x + i sen x ) = ( cos x + i sen x ) por la hipótesis de inducción = cos ( k x ) cos x − sen ( k x ) sen x + i = cos + i sen por las identidades trigonométricas {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{k}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\\&=\left\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\operatorname {sen} \left(kx\right)\operatorname {sen} x+i\left\\&=\cos \left+i\operatorname {sen} \left\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{aligned}}} :Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.
Cuando n = 0 {\displaystyle n=0}
la fórmula es verdadera ya que cos ( 0 x ) + i sen ( 0 x ) = 1 + i 0 = 1 {\displaystyle \cos(0x)+i\operatorname {sen}(0x)=1+i0=1} , y (por convención) z 0 = 1 {\displaystyle z^{0}=1} .Cuando n < 0 {\displaystyle n<0}
( cos x + i sen x ) n = ( cos x + i sen x ) − m = 1 ( cos x + i sen x ) m = 1 ( cos m x + i sen m x ) = cos ( m x ) − i sen ( m x ) = cos ( − m x ) + i sen ( − m x ) = cos ( n x ) + i sen ( n x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\operatorname {sen} mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\operatorname {sen} \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\operatorname {sen} \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\operatorname {sen} \left(nx\right).\end{aligned}}} , consideramos que existe un entero positivo m {\displaystyle m} tal que n = − m {\displaystyle n=-m} , por lo quePor lo tanto el teorema es verdadero para todo n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
.
La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces
es una función multivaluada mientras
cos ( w z ) + i sen ( w z ) {\displaystyle \cos(wz)+i\operatorname {sen}(wz)}no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:
cos ( w z ) + i sen ( w z ) {\displaystyle \cos(wz)+i\operatorname {sen}(wz)} es un valor de ( cos z + i sin z ) w {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,} .Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.
z = r ( cos x + i sen x ) {\displaystyle z=r\left(\cos x+i\operatorname {sen} x\right)}Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar, siendo r {\displaystyle r}
el módulo.Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:
z n = n = | z | n {\displaystyle z^{n}=\left^{n}=|z|^{n}\left}Para obtener las n {\displaystyle n}
z 1 / n = 1 / n = r 1 / n {\displaystyle z^{1/n}=\left^{1/n}=r^{1/n}\left} raíces de un número complejo, se aplica:donde k {\displaystyle k}
es un número entero que va desde 0 {\displaystyle 0} hasta n − 1 {\displaystyle n-1} , que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las n {\displaystyle n} raíces diferentes de z {\displaystyle z} .