Espacios Lp

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Los espacios L p {\displaystyle L^{p}} $L^{p}$ son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacios de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.

Definición

El espacio de Banach L μ p ( X ) {\displaystyle L_{\mu }^{p}(X)} $L_{\mu }^{p}(X)$ se construye a partir del espacio vectorial L μ p ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(X)} ${\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(X)$ , este segundo es un espacio vectorial pero no es un espacio de Banach. Si sobre este segundo espacio se define una cierta relación de equivalencia de tal manera que las clases de equivalencia (formadas por funciones iguales casi en todas partes) sí constituyen un espacio vectorial normado que es un espacio de Banach.

Consideremos ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} $(X,\Sigma ,\mu )$ un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:

L μ p ( X ) ⊆ C − 1 ( X , C ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(X)\subseteq C^{-1}(X,\mathbb {C} )}

{\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(X)\subseteq C^{-1}(X,\mathbb {C} )

para p ∈ Sea ( Ω , A , m ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},m)} $(\Omega ,{\mathcal {A}},m)$ un espacio de medida y sea ( B , ‖ ⋅ ‖ B ) {\displaystyle (B,\|{\cdot }\|_{B})} $(B,\|{\cdot }\|_{B})$ un espacio de Banach. Decimos que f : Ω → B {\displaystyle f\colon \Omega \to B} $f\colon \Omega \to B$ es una función escalón si existen A 1 , … , A n ∈ A {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}} $A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ , con Ω = A 1 ∪ ⋯ ∪ A n {\displaystyle \Omega =A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}} $\Omega =A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}$ , y b 1 , … , b n ∈ B {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B} $b_{1},\ldots ,b_{n}\in B$ , tales que

f ( ω ) = ∑ i = 1 n b i χ A i ( ω ) para casi todo ω ∈ Ω . {\displaystyle f(\omega )=\sum _{i=1}^{n}b_{i}\chi _{A_{i}}(\omega )\quad {\text{para casi todo }}\omega \in \Omega .}

f(\omega )=\sum _{i=1}^{n}b_{i}\chi _{A_{i}}(\omega )\quad {\text{para casi todo }}\omega \in \Omega .

Denotaremos por F ( B ) {\displaystyle F(B)} $F(B)$ el conjunto de funciones escalón. Decimos que una función f : Ω → B {\displaystyle f\colon \Omega \to B} $f\colon \Omega \to B$ es Bochner medible si existe una sucesión en F ( B ) {\displaystyle F(B)} $F(B)$ que tiende a f {\displaystyle f} $f$ puntualmente.

Sea L 0 ( Ω , A , m ; B ) {\displaystyle L_{0}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)} $L_{0}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)$ el conjunto de clases de equivalencia módulo igualdad para casi todo de funciones f : Ω → B {\displaystyle f\colon \Omega \to B} $f\colon \Omega \to B$ Bochner medibles para las cuales existe un c > 0 {\displaystyle c>0} $c>0$ tal que

m ( { ω ∈ Ω ∣ ‖ f ( ω ) ‖ B > c } ) < ∞ . {\displaystyle m(\{\,\omega \in \Omega \mid \|f(\omega )\|_{B}>c\,\})<\infty .}

m(\{\,\omega \in \Omega \mid \|f(\omega )\|_{B}>c\,\})<\infty .

Para 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } $1\leq p<\infty$ , denotamos por L p ( Ω , A , m ; B ) {\displaystyle L_{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)} $L_{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)$ el subespacio de L 0 ( Ω , A , m ; B ) {\displaystyle L_{0}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)} $L_{0}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)$ formado por las funciones f {\displaystyle f} $f$ tales que ∫ Ω ‖ f ‖ B p d m < ∞ {\displaystyle \int _{\Omega }\|f\|_{B}^{p}\,dm<\infty } $\int _{\Omega }\|f\|_{B}^{p}\,dm<\infty$ ; denotamos por L ∞ ( Ω , A , m ; B ) {\displaystyle L_{\infty }(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)} $L_{\infty }(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)$ el subespacio de L 0 ( Ω , A , m ; B ) {\displaystyle L_{0}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)} $L_{0}(\Omega ,{\mathcal {A}},m;B)$ formado por las funciones f {\displaystyle f} $f$ tales que inf { a ∈ R : μ ( { ω ∈ Ω : ‖ f ( ω ) ‖ B ≥ a } ) = 0 } {\displaystyle \inf\{\,a\in \mathbb {R} :\mu (\{\omega \in \Omega :\|f(\omega )\|_{B}\geq a\})=0\,\}} $\inf\{\,a\in \mathbb {R} :\mu (\{\omega \in \Omega :\|f(\omega )\|_{B}\geq a\})=0\,\}$ . Estos espacios, equipados con la norma

‖ f ‖ L p ( B ) = ( ∫ ‖ f ‖ B p d m ) 1 / p para 1 ≤ p < ∞ y {\displaystyle \|f\|_{L_{p}(B)}=\left(\int _{}^{}\|f\|_{B}^{p}\,dm\right)^{1/p}\quad {\text{ para }}1\leq p<\infty \quad {\text{y}}}

\|f\|_{L_{p}(B)}=\left(\int _{}^{}\|f\|_{B}^{p}\,dm\right)^{1/p}\quad {\text{ para }}1\leq p<\infty \quad {\text{y}}

‖ f ‖ L ∞ ( B ) = inf { a ∈ R : μ ( { ω ∈ Ω : ‖ f ( ω ) ‖ B ≥ a } ) = 0 } , {\displaystyle \|f\|_{L_{\infty }(B)}=\inf\{\,a\in \mathbb {R} :\mu (\{\omega \in \Omega :\|f(\omega )\|_{B}\geq a\})=0\,\},}

\|f\|_{L_{\infty }(B)}=\inf\{\,a\in \mathbb {R} :\mu (\{\omega \in \Omega :\|f(\omega )\|_{B}\geq a\})=0\,\},

son espacios de Banach.

Véase también

Espacio de Sóbolev

Referencias

↑ Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). Analysis in Banach spaces. Volume I. Martingales and Littlewood-Paley theory. Cham: Springer. p. 21. ISBN 978-3-319-48519-5.