Relación de equivalencia

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En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «juntando» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.​

Definición

Sea K {\displaystyle K} un conjunto dado no vacío y R {\displaystyle {\mathcal {R}}} una relación binaria definida sobre K {\displaystyle K} . Se dice que R {\displaystyle {\mathcal {R}}} es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

• Reflexividad: Todo elemento de K {\displaystyle K} está relacionado consigo mismo. Es decir,

∀ x ∈ K : x R x {\displaystyle \forall x\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}x} .

• Simetría: Si un elemento de K {\displaystyle K} está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

∀ x , y ∈ K : x R y ⇒ y R x {\displaystyle \forall x,y\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\;\Rightarrow \;y{\mathcal {R}}x} .

• Transitividad: Si un elemento de K {\displaystyle K} está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

∀ x , y , z ∈ K : x R y ∧ y R z ⇒ x R z {\displaystyle \forall x,y,z\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\quad \Rightarrow \quad x{\mathcal {R}}z} .

Notación:

En aritmética modular la relación de equivalencia entre dos elementos x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} se denota x ≡ y ( m o d R ) {\displaystyle x\equiv y(modR)} que se lee «  x {\displaystyle x} es equivalente a y {\displaystyle y} módulo R {\displaystyle R}  ». Una relación de equivalencia ∼ {\displaystyle \sim } sobre un cuerpo K {\displaystyle K} puede denotarse con el par ( K , ∼ ) {\displaystyle (K,\sim )\,} .

Clase de equivalencia o relación de equivalencia

En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia R {\displaystyle {\mathcal {R}}} define subconjuntos disjuntos en K {\displaystyle K} llamados clases de equivalencia:

Dado un elemento a ∈ K {\displaystyle a\in K} , el conjunto dado por todos los elementos relacionados con a {\displaystyle a} definen la clase:

= { b ∈ K | a R b } {\displaystyle =\{b\in K\,|\,a{\mathcal {R}}b\}}

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a {\displaystyle a} .

Al elemento a {\displaystyle a} se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si este es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en la ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

Conjunto cociente

Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se denota como:

K / R {\displaystyle K/{\mathcal {R}}} o K / ∼ {\displaystyle K/\sim }

Partición

Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea:

Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K determina una partición de este, y toda partición de K determina una relación de equivalencia en este.

Demostración

Dada una relación de equivalencia R {\displaystyle {\mathcal {R}}} en K: Para ver que la intersección es vacía, supongamos que no lo es, es decir, dados y dos clases distintas y c ∈ ∩ {\displaystyle c\in \cap } entonces se tiene: Por simetría c R b ⇒ b R c . {\displaystyle c{\mathcal {R}}b\Rightarrow b{\mathcal {R}}c.} Por transitividad b R c {\displaystyle b{\mathcal {R}}c} y c R a ⇒ b R a . {\displaystyle c{\mathcal {R}}a\Rightarrow b{\mathcal {R}}a.} Por tanto = que es una contradicción, por tanto, dos clases distintas no tienen elementos en común, así como todo elemento de K pertenece a una clase, queda bien definida una partición. Dada una partición de K, { A i } i ∈ I {\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}} , podemos definir la siguiente clase de equivalencia: Dados dos elementos a y b de K están relacionados si pertenecen al mismo conjunto A i . {\displaystyle A_{i}.}

La partición tiene como elementos las clases de equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K.

• para cualesquiera dos a i , a j {\displaystyle a_{i},a_{j}} no relacionados tenemos: ∩ = ∅ {\displaystyle \cap =\emptyset } ;
• la unión de todos integra al total: ⋃ s = K {\displaystyle \bigcup _{s}=K}

Ejemplos

• Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~ (c;d) si y solo si a+d = b +c. Esta es una relación de equivalencia en NxN y cada clase de equivalencia es un número entero. = { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) se llama representante canónico y se denota, simplificadamente, 2.

• La igualdad matemática

• La relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros (i. e. M ∈ Z {\displaystyle M\in \mathbb {Z} } ), donde se define: a ∼ b {\displaystyle a\sim b} si y solo si a − b {\displaystyle a-b\,} es múltiplo de M.

Esta relación es de equivalencia porque:

• Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
• Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
• Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares.

• Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo para elementos del grupo a ∼ b {\displaystyle a\sim b} si y solo si a b − 1 ∈ H {\displaystyle ab^{-1}\in H} , se tendrá la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H.

• Definiendo, para elementos del grupo, a ∼ b {\displaystyle a\sim b} si y solo si existe g en G tal que g a g − 1 = b {\displaystyle gag^{-1}=b} , se llama relación de conjugación. Sus clases se denominan clases de conjugación. Las clases de equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación.

• Sean los números reales a y b, diremos que a ∼ b {\displaystyle a\sim b} si y solo si sus máximos enteros son iguales. La clase de equivalencia son los intervalos = { a } ,         = = { b , c } . {\displaystyle =\{a\},~~~~==\{b,c\}.}

  El conjunto de todas las clases de equivalencia para R {\displaystyle R} es { { a } , { b , c } } . {\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}.} Este conjunto es una partición del conjunto X {\displaystyle X} con respecto a R {\displaystyle R} .

  Relaciones de equivalencia

  Las siguientes relaciones son todas relaciones de equivalencia:

  • "Es igual a" en el conjunto de los números. Por ejemplo, t f r a c 1 2 {\displaystyle tfrac{1}{2}} es igual a t f r a c 4 8 . {\displaystyle tfrac{4}{8}.} ​
  • "Cumple años el mismo día que" en el conjunto de todas las personas.
  • "Es similar a" en el conjunto de todos los triángulos.
  • "Es congruente con" en el conjunto de todos los triángulos.
  • Dado un número natural n {\displaystyle n} , "es congruente con", módulo". n {\displaystyle n} " en los enteros.​
  • Dada una función f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} , "tiene la misma imagen bajo f {\displaystyle f} que" sobre los elementos del dominio de f {\displaystyle f} . X {\displaystyle X} . Por ejemplo, 0 {\displaystyle 0} y π {\displaystyle \pi } tienen la misma imagen bajo sin {\displaystyle \sin } , a saber, 0 {\displaystyle 0} .
  • "Tiene el mismo valor absoluto que" en el conjunto de los números reales
  • "Tiene el mismo coseno que" en el conjunto de todos los ángulos.

  Conexiones con otras relaciones

  • Un orden parcial es una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
  • Igualdad es a la vez una relación de equivalencia y un orden parcial. La igualdad es también la única relación sobre un conjunto que es reflexiva, simétrica y antisimétrica. En expresión algebraicas, las variables iguales pueden ser sustituidas unas por otras, una facilidad que no está disponible para las variables relacionadas con la equivalencia. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia pueden sustituirse entre sí, pero no los individuos dentro de una clase.
  • Un orden parcial estricto es irreflexivo, transitivo y asimétrica.
  • Una relación de equivalencia parcial es transitiva y simétrica. Tal relación es reflexiva si y sólo si es total, es decir, si para todo a , {\displaystyle a,} existe algún b  tal que  a ∼ b . {\displaystyle b{\text{ tal que }}a\sim b.} ​ Por lo tanto, una relación de equivalencia puede definirse alternativamente como una relación simétrica, transitiva y total.
  • Una relación de equivalencia ternaria es un análogo ternario de la relación de equivalencia habitual (binaria).
  • Una relación reflexiva y simétrica es una relación de dependencia (si es finita), y una relación de tolerancia si es infinita.
  • Un preorden es reflexivo y transitivo.
  • Una relación de congruencia es una relación de equivalencia cuyo dominio X {\displaystyle X} es también el conjunto subyacente de una estructura algebraica, y que respeta la estructura adicional. En general, las relaciones de congruencia desempeñan el papel de núcleos de homomorfismos, y se puede formar el cociente de una estructura por una relación de congruencia. En muchos casos importantes, las relaciones de congruencia tienen una representación alternativa como subestructuras de la estructura sobre la que están definidas (por ejemplo, las relaciones de congruencia sobre grupos corresponden al subgrupo normals).
  • Cualquier relación de equivalencia es la negación de una relación de separación, aunque la afirmación inversa sólo es válida en matemática clásica (en contraposición a las matemática constructiva), ya que es equivalente a la Principio del tercero excluido.
  • Cada relación que es a la vez reflexiva e izquierda (o derecha) euclidiana es también una relación de equivalencia.

  Bien definido bajo una relación de equivalencia

  Si , ∼ {\displaystyle ,\sim \,} es una relación de equivalencia sobre X , {\displaystyle X,} y P ( x ) {\displaystyle P(x)} es una propiedad de elementos de X , {\displaystyle X,} tal que siempre que x ∼ y , {\displaystyle x\sim y,} P ( x ) {\displaystyle P(x)} es verdadera si P ( y ) {\displaystyle P(y)} es verdadera, entonces se dice que la propiedad P {\displaystyle P} está bien definida o es una invariante de clase bajo la relación ∼ . {\displaystyle \,\sim .}

  Un caso particular frecuente se da cuando f {\displaystyle f} es una función de X {\displaystyle X} a otro conjunto Y ; {\displaystyle Y;} si x 1 ∼ x 2 {\displaystyle x_{1}\sim x_{2}} implica f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)} entonces f {\displaystyle f} se dice que es un {em|morfismo}} para , ∼ , {\displaystyle ,\sim ,} una {em|clase invariante bajo}} , ∼ , {\displaystyle ,\sim ,} o simplemente invariante bajo <Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de caracteres de grupos finitos. Este último caso con la función f {\displaystyle f} puede expresarse mediante un triángulo conmutativo. Véase también invariante. Algunos autores utilizan "compatible con ∼ {\displaystyle \,\sim } " o simplemente "respeta ∼ {\displaystyle \,\sim } " en lugar de "invariante bajo ∼ {\displaystyle \,\sim } ".

  En términos más generales, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia , ∼ A {\displaystyle ,\sim _{A}} ) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia , ∼ B {\displaystyle ,\sim _{B}} ). Tal función se conoce como un morfismo de , ∼ A {\displaystyle ,\sim _{A}} a , ∼ B . {\displaystyle ,\sim _{B}.}

  Clase de equivalencia, conjunto cociente, partición

  Sean a , b {\displaystyle a,b} elementos en X {\displaystyle X} . Con base en esto, a continuación veamos algunas definiciones:

  Clase de equivalencia

  Un subconjunto Y de X tal que a ∼ b {\displaystyle a\sim b} se cumple para todo a y b en Y, y nunca para a en Y y b fuera de Y, se llama una clase de equivalencia de X por ~. Sea := { x ∈ X : a ∼ x } {\displaystyle :=\{x\in X:a\sim x\}} la clase de equivalencia a la que pertenece a. Todos los elementos de X equivalentes entre sí son también elementos de la misma clase de equivalencia.

  Conjunto cociente

  El conjunto de todas las clases de equivalencia de X por ~, denotado X / ∼ := { : x ∈ X } , {\displaystyle X/{\mathord {\sim }}:=\{:x\in X\},} es el conjunto cociente de X por ~. Si X es un espacio topológico, existe una forma natural de transformar X / ∼ {\displaystyle X/\sim } en un espacio topológico; véase espacio cociente para los detalles.

  Proyección

  La proyección de ∼ , {\displaystyle \,\sim ,} es la función π : X → X / ∼ {\displaystyle \pi :X\to X/{\mathord {\sim }}} definida por π ( x ) = {\displaystyle \pi (x)=} que mapea elementos de X {\displaystyle X} en sus respectivas clases de equivalencia por ∼ . {\displaystyle \,\sim .}

  Teorema sobre proyecciones:​ Sea la función f : X → B {\displaystyle f:X\to B} y sea tal que si a ∼ b {\displaystyle a\sim b} entonces f ( a ) = f ( b ) . {\displaystyle f(a)=f(b).} Entonces existe una única función g : X / ∼→ B {\displaystyle g:X/\sim \to B} tal que f = g π . {\displaystyle f=g\pi .} Si f {\displaystyle f} es una función sobreyectiva y a ∼ b  si y sólo si  f ( a ) = f ( b ) , {\displaystyle a\sim b{\text{ si y sólo si }}f(a)=f(b),} entonces g {\displaystyle g} es una biyección.

  Núcleo de equivalencia

  El núcleo de equivalencia de una función f {\displaystyle f} es la relación de equivalencia ~ definida por x ∼ y  si y sólo si  f ( x ) = f ( y ) . {\displaystyle x\sim y{\text{ si y sólo si }}f(x)=f(y).} El núcleo de equivalencia de una inyección es la relación de identidad.

  Partición

  Una partición de X es un conjunto P de subconjuntos no vacíos de X, tal que cada elemento de X es un elemento de un único elemento de P. Cada elemento de P es una celda de la partición. Además, los elementos de P son disjuntos por pares y su unión es X.

  Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia

  Un resultado clave vincula las relaciones de equivalencia y las particiones:​​​

  • Una relación de equivalencia ~ sobre un conjunto X divide a X.
  • A la inversa, correspondiente a cualquier partición de X, existe una relación de equivalencia ~ sobre X.

  En ambos casos, las celdas de la partición de X son las clases de equivalencia de X por ~. Dado que cada elemento de X pertenece a una celda única de cualquier partición de X, y dado que cada celda de la partición es idéntica a una clase de equivalencia de X por ~, cada elemento de ' 'X pertenece a una clase de equivalencia única de X por ~. Así, hay una biyección natural entre el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en X y el conjunto de todas las particiones de X.

  Comparando relaciones de equivalencia

  Véase también: Partición de un conjunto

  Si ∼ {\displaystyle \sim } y ≈ {\displaystyle \approx } son dos relaciones de equivalencia en el mismo conjunto S {\displaystyle S} , y a ∼ b {\displaystyle a\sim b} implica que a ≈ b {\displaystyle a\approx b} para todos a , b ∈ S , {\displaystyle a,b\in S,} entonces ≈ {\displaystyle \approx } se dice que es una relación más gruesa que ∼ {\displaystyle \sim } , y ∼ {\displaystyle \sim } es una relación más fina que ≈ {\displaystyle \approx } . Equivalentemente,

  • ∼ {\displaystyle \sim } es más fino que ≈ {\displaystyle \approx } si cada clase de equivalencia de ∼ {\displaystyle \sim } es un subconjunto de una clase de equivalencia de ≈ {\displaystyle \approx } , y por lo tanto cada clase de equivalencia de ≈ {\displaystyle \approx } es una unión de clases de equivalencia de ∼ {\displaystyle \sim } .
  • ∼ {\displaystyle \sim } es más fino que ≈ {\displaystyle \approx } si la partición creada por ∼ {\displaystyle \sim } es un refinamiento de la partición creada por ≈ {\displaystyle \approx } .

  La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina de cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más tosca.

  La relación " ∼ {\displaystyle \sim } es más fino que ≈ {\displaystyle \approx } " sobre la colección de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí misma una relación de orden parcial, lo que hace que la colección sea una red geométrica.​

  Véase también

  • Equivalencia lógica
  • espacio vectorial cociente
  • Teoría del orden
  • Topología cociente

  Notas

  1. ↑ Si: Dada a , {\displaystyle a,} a ∼ b {\displaystyle a\sim b} se cumple usando la totalidad, entonces b ∼ a {\displaystyle b\sim a} por simetría, por lo tanto a ∼ a {\displaystyle a\sim a} por transitividad. — Sólo si: Dado a , {\displaystyle a,} elegir b = a , {\displaystyle b=a,} entonces a ∼ b {\displaystyle a\sim b} por reflexividad.

  Referencias

  1. ↑ Frank Ayres. «Álgebra Moderna», libros Mc Graw-Hill, Bogotá, Colombia.
  2. ↑ a b «7.3: Equivalence Classes». Mathematics LibreTexts (en inglés). 20 de septiembre de 2017. Consultado el 30 de agosto de 2020. 
  3. ↑ Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane, 1999 (1967). Álgebra, 3ª ed. p. 35, Th. 19. Chelsea.
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  5. ↑ Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed. p. 3, Prop. 2. John Wiley & Sons.
  6. ↑ Karel Hrbacek & Thomas Jech (1999) Introduction to Set Theory, 3rd edition, pages 29–32, Marcel Dekker
  7. ↑ Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications 25 (3rd edición), American Mathematical Society, ISBN 9780821810255 .. Sect. IV.9, Theorem 12, page 95

  Bibliografía

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