Partición de un conjunto
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Partición en 6 subconjuntos.
Una partición de un conjunto A está formada por los subconjuntos A1, A2, A3, ..., An, los cuales deben cumplir:
- Que la unión de todos los subconjuntos sea igual al conjunto dado.
A1 ∪ {\displaystyle \cup } A2 ∪ {\displaystyle \cup } A3 ∪ {\displaystyle \cup } ... ∪ {\displaystyle \cup } An = A
A2
∪
{\displaystyle \cup }
- Que todos los subconjuntos sean disjuntos entre sí.
- Que ningún subconjunto sea vacío.
Esta división se representa mediante una colección o familia de subconjuntos de dicho conjunto que lo recubren.
El concepto de partición está ligado al de relación de equivalencia: toda relación de equivalencia sobre un conjunto A {\displaystyle A} define una partición de A {\displaystyle A} , y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una clase de equivalencia de la relación
define una partición de
A
{\displaystyle A}
Ejemplo:
Dado el conjunto A = {1, 2, 3} se define su partición como:
A1 = {1} ⋃ {2} ⋃ {3}
A2 = {1,2} ⋃ {3}
A3 = {1} ⋃ {2,3}
A4 = {1,3} ⋃ {2}
A5 = {1, 2, 3}
Número de particiones
El número de particiones posibles para un conjunto finito solo depende de su cardinal n, y se llama el número de Bell Bn. Los primeros números de Bell son B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203, ...
Referencias
- Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
- Weisstein, Eric W. «Bell Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.