Cuadrado

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Cuadrado

Cuadrilatero, con sus lados paralelos , y sus cuatro ángulos rectos
Características
Tipo Cuadrilátero, paralelogramo
Lados 4
Vértices 4
Grupo de simetría D 4 {\displaystyle D_{4}}
Símbolo de Schläfli {4/1}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual Cuadrado
Área l ∗ l {\displaystyle l*l}
Ángulo interior 90°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico
Un cuadrado y sus ángulos principales Tablilla de barro Ybc7289 datada el 1800 a. C. donde se muestra un cuadrado y sus diagonales.

Un cuadrado en geometría es un cuadrilátero regular, es decir, una figura plana de cuatro lados congruentes y paralelos dos a dos, y cuatro ángulos interiores rectos (90°), por lo que también cumple con la definición de rectángulo y paralelogramo

También se puede definir como un rectángulo con dos lados adyacentes de igual longitud. Es el único polígono regular cuyo ángulo interno, ángulo central, y ángulo externo son todos iguales (90°), y cuyas diagonales son todas iguales en longitud. Un cuadrado con vértices ABCD se denotaría como ◻ABCD.

Definición

Un cuadrado es una figura geométrica plana que consiste en cuatro puntos unidos por segmentos de igual medida, que encierran una región del plano, formando ángulos rectos.

Características

Un cuadrilátero convexo es un cuadrado si y sólo si es cualquiera de los siguientes:

Propiedades

Por ser cuadrilátero, hereda las siguientes propiedades:

A partir de la definición euclidiana reducida y aplicando deducción se pueden demostrar las siguientes propiedades del cuadrado:

Formulario

Fórmulas en función del lado a {\displaystyle a} del cuadrado:

Fórmulas en función de la diagonal d {\displaystyle d} del cuadrado:

Construcciones

Según Símbolo de Schläfli se pueden obtener:

Propiedades relativas a la circunferencia inscrita o circunscrita. Dual del cuadrado

Otros datos

2 ( P H 2 − P E 2 ) = P D 2 − P B 2 . {\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.} d 1 4 + d 2 4 + d 3 4 + d 4 4 4 + 3 R 4 = ( d 1 2 + d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 4 + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.} d 1 2 + d 3 2 = d 2 2 + d 4 2 = 2 ( R 2 + L 2 ) {\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})} y d 1 2 d 3 2 + d 2 2 d 4 2 = 2 ( R 4 + L 4 ) , {\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),} donde R {\displaystyle R} es el circunradio del cuadrado.

Coordenadas y ecuaciones

| x | + | y | = 2 {\displaystyle |x|+|y|=2} trazadas en coordenadas cartesianas.

Las coordenadas de los vértices de un cuadrado de lados verticales y horizontales, centrado en el origen y de lado 2 son (±1,  ±1), mientras que el interior de este cuadrado está formado por todos los puntos (xi, yi) con -1 < xi < 1 y -1 < yi < 1. La ecuación

m a x ( x 2 , y 2 ) = 1 {\displaystyle max(x^{2},y^{2})=1}

especifica el límite de este cuadrado. Esta ecuación significa "x2 o y2, el que sea mayor, es igual a 1". El circunradio de este cuadrado (el radio de una circunferencia trazada a través de los vértices del cuadrado) es la mitad de la diagonal del cuadrado, y es igual a 2 . {\displaystyle {\sqrt {2}}.} Luego la circunferencia tiene la ecuación x 2 + y 2 = 2. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}

Alternativamente la ecuación

| x − a | + | y − b | = r . {\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}

también se puede utilizar para describir el límite de un cuadrado con centro coordenadas (a, b), y un radio horizontal o vertical de r. El cuadrado tiene, por tanto, la forma de una bola topológica según la métrica de distancias L1.

Construcción

Las siguientes animaciones muestran cómo construir un cuadrado utilizando Regla y compás. Esto es posible ya que 4 = 22, una potencia de dos.

Cuadrado en una circunferencia dada

.

Simetría

Las simetrías diédricas se dividen en función de si pasan por vértices (d para diagonal) o aristas (p para perpendiculares) Las simetrías cíclicas de la columna central se etiquetan como g por sus órdenes de giro centrales. La simetría completa del cuadrado es r8 y la no simetría se etiqueta como a1.

El cuadrado tiene simetría Dih4, orden 8. Hay 2 subgrupos diedros: Dih2, Dih1, y 3 subgrupos cíclico: Z4, Z2, y Z1.

Un cuadrado es un caso especial de muchos cuadriláteros de simetría inferior: